متغیر تصادفی پیوسته
همان گونه که گفته شد اگر فضای نمونه پیوسته باشد متغیر تصادفی پیوسته خواهیم داشت. به موارد زیر به عنوان مثال می توان اشاره نمود:
- متغیر تصادفی نشان دهنده انتخاب یک نقطه در بازه [0,2]
- اندازه گیری طول یک وسیله
- …
تابع چگالی احتمال (PDF) متغیرهای پیوسته
در این قسمت قصد داریم برای متغیرهای پیوسته تابع چگالی احتمال تعریف کنیم. اولین و بدیهی ترین نکته ای که به ذهن می رسد این است که برای متغیرهای پیوسته هم PDF ای مثل حالت گسسته تعریف کنیم. یعنی fX(x)=P(X=x) .
اما توجه به دو مثال و یک نکته نشان می دهد که انجام این مسئله امکان پذیر نیست و در نتیجه باید تعریف دیگری ارائه کرد:
مثال) فرض کنید آزمایش تصادفی انتخاب یک عدد در بازه [0,2] باشد و متغیر تصادفی X نشان دهنده عدد انتخابی باشد. برای محاسبه احتمال انتخاب یک نقطه خاص مثلا x=0.5 داریم:
به ازای هر نقطه دلخواه دیگر هم همین مسئله برقرار است.
این مثال نشان می دهد زمانی که متغیر تصادفی پیوسته باشد احتمال نقطه ای صفر خواهد بود.
مثال) مسأله پرتاب یک تیر به یک صفحه دایره ای به شعاع واحد را در نظر بگیرید. فرض کنید X متغیر تصادفی نشان دهنده فاصله بین نقطه فرود تا مرکز دایره باشد. با فرض اینکه تیرها همیشه روی صفحه فرود آیند و احتمال فرود در هر نقطه مساوی باشد.
الف) محدوده X را مشخص کنید.
ب) P(X<a) را محاسبه کنید.
الف:
ب:
این مثال نشان داد که برای متغیر تصادفی پیوسته احتمال روی یک بازه قابل تعریف است.
با ترکیب دو مثال فوق به نکته زیر پی می بریم:
نکته : برای متغیرهای تصادفی پیوسته احتمال در یک نقطه معنی ندارد (صفر می شود) اما احتمال روی یک بازه (فاصله) معنی دارد. پس متوجه شدیم که PDF پیوسته را نمی توان مانند گسسته تعریف کرد و باید فکر دیگری نمود. قبلا گفتیم که PDF متغیرهای گسسته دارای 2 ویژگی زیر است:
یک ایده مناسب آن است که PDF پیوسته را طوری تعریف کنیم که دارای 2 ویژگی مشابه زیر باشد:
نکته دیگری که فهمیده ایم این است که برای متغیرهای پیوسته احتمال روی یک بازه قابل تعریف است. پس ایده دومی که به ذهن خطور می کند این است که PDF به دست آمده به گونه ای باشد که با استفاده از آن بتوان احتمال بازه ای را محاسبه کرد. مثلا خوب است انتگرال تابع PDF از نقطه a تا b برابر 
باشد.
با توجه به جمیع نکات و مثال های مطرح شده نتیجه می گیریم که مناسب استfX(x)، PDF متغیرهای تصادفی پیوسته دارای ویژگی های زیر باشد:
پس نحوه انتخاب PDF باید به صورتی باشد که شرایط فوق را ارضا کند. بر حسب چگونگی مسئله نحوه این انتخاب فرق می کند .
مثال) برای متغیر تصادفی X نشان دهنده نتیجه انتخاب یک عدد در بازه [0,2] PDF را پیدا کنید.
یعنی PDF ای دارای سه شرط فوق الذکر باشد.
با توجه به هم شانس بودن نتایج می توان نتیجه گرفت که احتمال هر دو بازه با طول یکسان باید مساوی باشد. این امر فقط وقتی اتفاق می افتد که تابع ما دارای مقدار ثابتی در [0,2] باشد (شکل زیر)
در نتیجه:
از طرفی دیگر طبق شرط 2 باید 
. در نتیجه:
در نتیجه:
به همین ترتیب می توان ثابت کرد درانتخاب یک نقطه در بازه [a,b] ، PDF به صورت زیر به دست می آید:
نکته: به متغیر تصادفی دارای این تابع چگالی اصطلاحا متغیر تصادفی یکنواخت با دو پارامتر a و b گفته می شود و آن را به صورت زیر نشان می دهیم:
مثال: تابع 
را در نظر بگیرید.
مقدار a را طوری تعیین کنید که( f(x یک PDF برای یک متغیر تصادفی پیوسته باشد.
یادآوری: از درس ریاضی می دانیم
برای اینکه این تابع PDF باشد لازم است
.
در نتیجه:
نکته: در حالت کلی متغیر تصادفی X که دارای PDF ای به صورت زیر باشد را یک متغیر نرمال یا گاوسی با دو پارامتر 
و
می گویند:
متغیر گاوسی X را با نماد 
یا 
نشان می دهند.
مثال بالا در واقع نشان دهنده یک توزیع گاوسی 
می باشد.
تعریف متغیر نرمال (گاوسی)
متغیر تصادفی 
متغیر نرمال (گاوسی) استاندارد گفته می شود. معمولا این متغیر با نماد 
نشان داده می شود. واضح است که PDF متغیر نرمال استاندارد به صورت زیر می باشد:
مثال) مطلوبست رسم PDF گاوسی:
با توجه به تابع، می توان PDF را به شکل زیر به دست آورد.
یک نکته در مورد احتمال متغیرهای پیوسته
نکته: برای متغیرهای پیوسته، احتمالی مثل 
با 
مساوی و دارای مقدار یکسان است چون انتگرال گیری انجام می شود و انتگرال 
با 
تفاوتی ندارد.
به همین ترتیب مثلا 
با 
، 
و 
یکسان است. کلا می توان گفت برای متغیر پیوسته تفاوتی بین 
با 
و 
با 
وجود ندارد.
تعریف CDF برای متغیرهای تصادفی پیوسته
برای تعریف CDF در این حالت ابتدا بررسی می کنیم که آیا می توان از همان تعریف CDF گسسته استفاده کرد یا خیر. اگر بتوان این کار را انجام داد بسیار مناسب است که از همان تعریف گسسته برای حالت پیوسته هم استفاده شود.
در حالت گسسته تعریف به صورت بود. چون در حالت پیوسته برای محاسبه احتمال بازه ای مشکلی وجود ندارد پس از همین تعریف برای حالت پیوسته هم استفاده می کنیم.
تعریف: برای متغیر پیوسته X تابع توزیع تجمعی (CDF) به صورت زیر تعریف می شود:
ویژگی های CDF در حالت پیوسته
همواره تابعی پیوسته است. در مورد این ویژگی در جلسات بعد به طور مفصل تری توضیح خواهیم داد.
- غیرنزولی است.
- (ویژگی مهم): بین CDF و PDF یک متغیر پیوسته روابط زیر برقرار است:
نکته 1:
برای حالت پیوسته
به عبارت دیگر در اینجا چون احتمال نقطه ای صفر است نوشتن فرم دقیق مانند گسسته ضرورت ندارد.
مثال: برای متغیر تصادفی 
مطلوبست محاسبه CDF
اگر a<m باشد 
اگر m<a<n باشد:
اگر a>n باشد 
در نتیجه:
مثال)
الف: تحقیق کنید تابع 
به ازای هر مقدار 
یک PDF می تواند باشد.
ب: CDF مربوط به آن را محاسبه کنید.
ج: 
را حساب کنید.
الف:
ب:
ج: با دو روش استفاده از رابطه 
یا محاسبه 
می توان جواب را به دست آورد. در اینجا ما روش دوم را به کار می گیریم:
نکته: PDF این مثال یک تابع قطعه ای پیوسته است.
مثال) فرض کنید CDF متغیر تصادفی X به صورت زیر تعریف شده باشد. مطلوبست محاسبه PDF مربوط به این متغیر
با توجه به ویژگی آخر CDF خواهیم داشت:
با توجه به PDF محاسبه شده نتیجه می گیریم که X متغیر نرمال استاندارد است.
مثال) در مسئله پرتاب تیر به صفحه دایره ای که قبلا مطرح شد CDF و PDF مربوط به متغیر تصادفی X نشان دهنده فاصله نقطه فرود تا مرکز دایره را حساب کنید.
دانستیم که
در نتیجه:
در نتیجه:
