آموزش نرم افزار متلب برای رشته برق - عملیات ریاضی با ماتریس ها

آموزش نرم افزار متلب برای رشته برق – عملیات ریاضی با ماتریس ها

عملیات اصلی ریاضی با ماتریس ها عبارتند از: جمع، تفریق، ضرب، معکوس، دترمینان ها و حل معادلات و ریشه ها. نتایج این عملیات برای به دست آوردن حل عددی مسائل مهندسی مختلف به کار می رود.

چهار عمل اصلی بر روی ماتریس ها

روش طبیعی و ساده ای برای جمع و تفریق ماتریس ها وجود دارد. مثلا برای دو ماتریس A و B که به صورت زیر تعریف می شوند، جمع و تفریق ماتریس ها به روشی بسیار ساده مانند زیر انجام می شود.

; A=[1 2 3; 4 5 6] <<
;B=[2 0 -1; 1 2 7] <<
A+B <<
= ans

2 2 3

13 7 5

فقط ماتریس هایی می توانند با هم جمع شوند که ابعاد یکسانی دارند. در متلب سایت سیم پاور یک استثناء وجود دارد که بسیار مفید می باشد. اگر قرار باشد به هر یک از اعضا ماتریس A عدد c اضافه شود، به وسیله فرمان A+c*ones(size(A)) یا خیلی ساده تر با فرمان A+c این عمل قابل اجرا است. بنابراین در صورتیکه x یک بردار باشد، می توان مقدار اسکالر t را به مولفه های x با فرمان x+t اضافه کرد.
یک ماتریس را می توان در یک عدد اسکالر ضرب و بر یک عدد اسکالر غیرصفر نیز تقسیم کرد.

جمع و تفریق

اگر دو ماتریس a و b دارای ابعاد (m⨯n) باشند، آنگاه:

ضرب

اگر ماتریس a(m⨯k) و ماتریس b(k⨯n)مفروض باشند، آنگاه:

C یک ماتریس (m⨯n) است. توجه کنید که ضرب دو ماتریس فقط هنگامی تعریف پذیر است که تعداد ستون های ماتریس اول و تعداد سطرهای ماتریس دوم باهم برابر باشند که در این مورد k است. به عبارت دیگر (m⨯n)= (m⨯k) (k⨯n). عبارت متلب سایت سیم پاور برای بیان ضرب ماتریس عبارت است از:

c=a*b <<

برای بررسی بهتر نتایج ضرب ماتریسی به سری های زیر دقت کنید:

فرض کنید بخواهیم مقدار w(x,y) را روی یک بازه از x و y به دست آوریم : x = x1,x2,…xm ، y = y1,y2,…yn. پس می توان در نظر گرفت:

…. به عنوان نمونه یک عضو ماتریس w از مرتبه (m⨯n) باشد. فرض کنید f یک ماتریس از مرتبه (m⨯k) باشد:

اگر g یک ماتریس از مرتبه (k⨯n) باشد.

آنگاه خواهیم داشت :

به عبارت دیگر این ضرب ماتریسی، جمع سری ها را برای هر عضو مقادیر x و y اجرا می کند.
حال سه مورد ویژه از ضرب عمومی ماتریسی را بررسی می کنیم:
ضرب یک بردار سطری و یک بردار ستونی

اگر a یک بردار سطری باشد:

a = [a1 a2 … ak]→(1×k)

اگر b یک بردار ستونی باشد:

b = [b1 b2 … bk]→(k×1)

آنگاه d=ab یک عدد است.

از این رو ضرب مرتبه ها، (1⨯k)(k⨯1)=(1⨯1) را نتیجه می دهد. این نوع ضرب را حاصل ضرب نقطه ای دو بردار می نامند. عبارت حاصل ضرب نقطه ای دو بردار در متلب سایت سیم پاور به شکل زیر نیز تعریف می شود:

d=a*b <<

…

d=dot(a,b) <<

اگر c ماتریس(n⨯n) و x یک بردار ستونی (n⨯1) باشد، آنگاه