حل معادله پواسون
- روش تکرار
روشهای تکرار عموما برای حل سیستم بزرگی از معادلات بکار می روند. شیوه کار در اینگونه موارد آنست که یک تقریب اولیه برای محاسبه تقریب ثانویه استفاده می شود. تقریب ثانویه نیز برای محاسبه سومین تقریب بکار می رود و این روند تا رسیدن به یک همگرایی ادامه می یابد. سه روش تکرار مرسوم ژاکوبی (Jacobi) ، گاوس – سیدل (Gauss – Seidel) و فراواهلش متوالی (successive over-relaxation (SOR)) می باشد.
– روش ژاکوبی
در این روش رابطه فوق بصورت زیر بازنویسی می شود.
– روش گاوس – سیدلدر
روش ژاکوبی پتانسیل در هر تکرار از تنها از داده های تکرار قبلی استفاده می شود. سرعت همگرایی روش زاکوبی کم است. در روشهای بعدی آهنگ همگرایی بهبود می یابد.
با دقت کمی متوجه میشویم که در محاسبه (i,j)Φ برای تکرار k+1 اطلاعات مربوط به جملات (Φ(i-1,j و (Φ(i,j-1 برای تکرار k+1 موجود هستند و از آنجایی این جملات نسبت به جملات مشابه تکرار kام دقیقترند میتوان آنها را جایگزین نماییم. در اینصورت رابطه تکرار گاوس – سیدل بشکل زیر بدست می آید،
برای اعمال روش SOR نخست جمله باقیمانده، (R(i,j، در گره iو j بصورت اختلاف بین پاسخ های k و k+1امین تکرار تعریف می کنیم،- روش SOR
توجه داشته باشید k+1(i,j)Φ از الگوریتم گاوس –سیدل (رابطه 8) جایگزین شده است. مقدار باقیمانده که با R (i,j)نشان داده میشود را می توان بعنوان جمله تصحیح در نظر گرفت که برای نزدیک شدن به پاسخ صحیح باید به (i,j)Φ اضافه می شود. با همگرایی بسمت پاسخ صحیح R(i,j) به صفر میل میکند.. برای تسریع آهنگ همگرایی باقیمانده را در پارامتر ω ضرب می کنیم و آنرا با (i,j)Φ مربوط به kامین تکرار جمع می کنیم تا (i,j)Φ در (k+1)امین تکرار بدست آید. بنابراین رابطه تکرار بصورت زیر در خواهد آمد،
پارامتر ω فاکتور واهلش نامیده می شود و عددی بین 1 و 2 است. مقدار بهینه ω از طریق آزمون و خطا مشخص می گردد.
اسکریپت زیر معادله پواسون در دو بعد را با روش SOR حل می کند. در اینجا پس از تعداد 200 تکرار برنامه متوقف می شود. الیته می توانید با تعریف یک پارامتر دقت، برنامه را به گونه ای بنویسید که به ازای رسدن به دقت معینی متوقف شود. ناحیه مورد بررسی یک صفحه مستطیلی محصور بین خطوط x=0,x=1,y=0,y=1 می باشد. شرایط اولیه مسئله و همچنین چگالی بار بصورت زیر در نظر گرفته شده است،
% finite difference methode of 2-Dimentional poisson equation
% using by SOR methode
clc
clear all
%———————–
N=100; % Number of nodes in each dimention
x=linspace(0,1,N);
y=x;
dx=x(2)-x(1);
dy=dx;
[Y X]=meshgrid(y,x);
V=zeros(N); % initial guess
% boundry conditions—
V(:,1)=1; % V(y=0)
V(:,end)=1; % V(y=1)
V(1,:)=0; % V(x=0)
V(end,:)=0; % V(x=1)
%————————
rho=X; % charged density
ep=1; % epsilon
Vnew=V;
w=1;
tic % start time
for m=1:200 % iteration loop
for i=2:N-1
for j=2:N-1
Vnew(i,j)=(1-w)*V(i,j)+w/4*(V(i+1,j)+Vnew(i-1,j)…
+V(i,j+1)+Vnew(i,j-1)+1/ep*rho(i,j)*dx^2);
end
end
V=Vnew;
end
toc % stop time
mesh(X,Y,V)
xlabel(‘x’)
ylabel(‘y’)
مقاله متلب,مطلب,متلب,مقاله برق,مقاله قدرت,مقاله مطلب,مقاله سیمولینک,دانلود متلب,دانلود مقاله متلب,مقالهmatlab ,آموزش متلب,مطلب,متلب,آموزش برق,آموزش قدرت,آموزش مطلب,آموزش سیمولینک,دانلود متلب,دانلود آموزش متلب,آموزشmatlab ,پروژه متلب,مطلب,متلب,پروژه برق,پروژه قدرت,پروژه مطلب,پروژه سیمولینک,دانلود متلب,دانلود پروژه متلب,پروژهmatlab ,
